Vettore intervallare standard
Il vettore intervallare standard è un conteggio delle classi di intervallo presenti in un insieme di altezze. Nella teoria musicale degli insiemi, resa canonica soprattutto dal lavoro di Allen Forte, esso non distingue l’ordine delle note né la direzione ascendente o discendente, ma considera come equivalenti gli intervalli e le loro inversioni rispetto all’ottava. In questo sistema, il vettore descrive il contenuto intervallare di un insieme di pitch class, ovvero di altezze considerate indipendentemente dall’ottava.
Per una trattazione generale del concetto standard si veda la voce Wikipedia: Interval vector.
Nel temperamento equabile a dodici suoni, il vettore intervallare standard ha sei cifre, una per ciascuna classe di intervallo da 1 a 6. La classe 0, corrispondente all’unisono e all’ottava, non viene conteggiata. Le sei classi sono le seguenti:
| Semitoni | Nome dell’intervallo | Classe di intervallo |
|---|---|---|
| 1 / 11 | seconda minore / settima maggiore | 1 |
| 2 / 10 | seconda maggiore / settima minore | 2 |
| 3 / 9 | terza minore / sesta maggiore | 3 |
| 4 / 8 | terza maggiore / sesta minore | 4 |
| 5 / 7 | quarta giusta / quinta giusta | 5 |
| 6 | tritono | 6 |
Il vettore viene normalmente scritto come una sequenza di sei cifre racchiusa tra parentesi angolari, nella forma <a b c d e f>, dove ciascuna posizione indica il numero di occorrenze della relativa classe di intervallo.
Esempio
Ad esempio, considerando la triade maggiore C–E–G, le coppie intervallari sono tre:
| Coppia di note | Semitoni | Classe di intervallo |
|---|---|---|
| C–E | 4 | 4 |
| E–G | 3 | 3 |
| C–G | 7 | 5 |
Il vettore corrispondente è quindi <0 0 1 1 1 0>, poiché l’accordo contiene un singolo intervallo di classe 3, uno di classe 4 e uno di classe 5, e nessun altro intervallo.
Vettore intervallare direzionale
Nella teoria di Lorenzo Frizzera, si definisce vettore intervallare direzionale una rappresentazione delle distanze realmente presenti nel contenuto sonoro di un accordo. L’aggettivo direzionale serve a distinguerlo dal significato standard: qui infatti non si intende un vettore insiemistico astratto, ma una descrizione delle relazioni intervallari così come esse emergono concretamente nella struttura sonora.
In questo uso, gli intervalli complementari all’ottava non vengono ridotti alla medesima classe, ma trattati come relazioni differenti. Di conseguenza, 1 e 11, 2 e 10, 3 e 9, 4 e 8, 5 e 7 non sono più considerati equivalenti. Il vettore non registra soltanto quante volte compare una classe, ma quali distanze specifiche compaiono realmente entro l’ottava.
| Semitoni | Nome dell’intervallo | Classe nel vettore standard | Valore nel vettore direzionale |
|---|---|---|---|
| 1 | seconda minore | 1 | 1 |
| 2 | seconda maggiore | 2 | 2 |
| 3 | terza minore | 3 | 3 |
| 4 | terza maggiore | 4 | 4 |
| 5 | quarta giusta | 5 | 5 |
| 6 | tritono | 6 | 6 |
| 7 | quinta giusta | 5 | 7 |
| 8 | sesta minore | 4 | 8 |
| 9 | sesta maggiore | 3 | 9 |
| 10 | settima minore | 2 | 10 |
| 11 | settima maggiore | 1 | 11 |
Se il vettore standard opera su sei classi di intervallo, il vettore direzionale distingue separatamente gli undici possibili intervalli da 1 a 11 semitoni, lasciando il tritono come valore centrale autonomo. Nella sintassi adottata da Lorenzo Frizzera, esso può essere espresso come una sequenza di undici cifre racchiusa tra parentesi quadre.
Esempi
Considerando ancora la triade maggiore C–E–G, il contenuto sonoro dell’accordo non viene ridotto alle classi 3–4–5, ma mantenuto nelle sue distanze effettive di 3–4–7 semitoni. Il vettore direzionale corrispondente è quindi:
[0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0]
dove le undici posizioni corrispondono, nell’ordine, agli intervalli di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 semitoni.
Va precisato che, come il vettore intervallare standard, anche il vettore intervallare direzionale conta le occorrenze degli intervalli e non soltanto la loro presenza o assenza. Di conseguenza, se una stessa distanza compare più volte all’interno di un accordo, essa viene registrata tante volte quante sono le sue effettive ricorrenze. Ad esempio, l’accordo C–E♭–G♭–A ha vettore direzionale [0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0].
Differenza tra vettore standard e vettore direzionale
Il vettore intervallare standard è uno strumento essenzialmente classificatorio: serve cioè a confrontare insiemi teoricamente equivalenti anche quando l’ordine delle note, la disposizione verticale o il registro cambiano. Per questo motivo, nella teoria degli insiemi, esso ignora la direzione e riduce gli intervalli alle loro classi complementari all’ottava.
Il vettore intervallare direzionale, invece, è uno strumento descrittivo più strettamente musicale: non mira a classificare insiemi astratti, ma a rendere leggibile il profilo sonoro interno di un accordo, conservando differenze che la riduzione a classi di intervallo tende a cancellare. In questo senso, esso è più vicino al dato sonoro concreto che non alla sola equivalenza teorica tra insiemi.
La teoria standard, inoltre, tratta il contenuto intervallare come proprietà di una set class e non di una singola disposizione concreta: il vettore resta infatti invariato per trasposizione, inversione, permutazione e disposizione verticale dell’insieme.
Ad esempio, gli accordi C–E–G e C–E–A hanno lo stesso vettore standard <0 0 1 1 1 0>, pur avendo contenuti sonori differenti. Nel primo caso le distanze effettive sono 3, 4 e 7 semitoni; nel secondo sono 4, 5 e 9 semitoni. Il vettore direzionale nasce proprio dall’esigenza di non cancellare tali differenze, così da conservarne la rilevanza musicale.