Vettore intervallare standard
Nel temperamento equabile a dodici suoni, il vettore intervallare standard è una sequenza di sei cifre, una per ciascuna classe di intervallo da 1 a 6. Le sei classi sono le seguenti:
| Semitoni | Nome dell’intervallo | Classe di intervallo |
|---|---|---|
| 1 / 11 | seconda minore / settima maggiore | 1 |
| 2 / 10 | seconda maggiore / settima minore | 2 |
| 3 / 9 | terza minore / sesta maggiore | 3 |
| 4 / 8 | terza maggiore / sesta minore | 4 |
| 5 / 7 | quarta giusta / quinta giusta | 5 |
| 6 | tritono | 6 |
| La classe 0, corrispondente all’unisono e all’ottava, non viene conteggiata. | ||
Il vettore viene scritto come una sequenza di sei cifre racchiusa tra parentesi angolari, nella forma <a b c d e f>, dove ciascuna posizione indica il numero di volte in cui si presenta la relativa classe di intervallo. |
Ad esempio, considerando la triade maggiore C–E–G, le coppie intervallari sono tre:
| Coppia di note | Semitoni | Classe di intervallo |
|---|---|---|
| C–E | 4 | 4 |
| E–G | 3 | 3 |
| C–G | 7 | 5 |
Il vettore corrispondente è <0 0 1 1 1 0>, poiché l’accordo contiene un singolo intervallo di classe 3, uno di classe 4, uno di classe 5 e nessun altro intervallo.
Il vettore intervallare standard è quindi un conteggio delle classi di intervallo presenti in un insieme di altezze. Nella teoria musicale degli insiemi, resa canonica soprattutto dal lavoro di Allen Forte, esso non distingue l’ordine delle note né la direzione ascendente o discendente, ma considera come equivalenti gli intervalli e le loro inversioni rispetto all’ottava. In sostanza, in questo sistema il vettore descrive il contenuto intervallare di un insieme di pitch class, ovvero di altezze considerate indipendentemente dall’ottava.
Per una trattazione generale del concetto standard si veda la voce Wikipedia: Interval vector.
Vettore intervallare spaziale
Nella teoria di Lorenzo Frizzera, si definisce vettore intervallare spaziale una rappresentazione delle distanze realmente presenti nel contenuto sonoro di un insieme di note. L’aggettivo spaziale serve a distinguerlo dal vettore standard: qui infatti non si intende un vettore insiemistico astratto, ma una descrizione delle distanze intervallari così come esse emergono concretamente nella struttura sonora.
In questo uso, gli intervalli complementari all’ottava non vengono ridotti alla medesima classe, ma trattati come relazioni differenti. Di conseguenza, intervalli come seconda minore e settima maggiore, o terza maggiore e sesta minore, non sono più considerati equivalenti. Il vettore registra quali distanze specifiche compaiono entro l’ottava e per quante volte si presentano.
| Semitoni | Nome dell’intervallo | Classe nel vettore standard | Valore nel vettore spaziale |
|---|---|---|---|
| 1 | seconda minore | 1 | 1 |
| 2 | seconda maggiore | 2 | 2 |
| 3 | terza minore | 3 | 3 |
| 4 | terza maggiore | 4 | 4 |
| 5 | quarta giusta | 5 | 5 |
| 6 | tritono | 6 | 6 |
| 7 | quinta giusta | 5 | 7 |
| 8 | sesta minore | 4 | 8 |
| 9 | sesta maggiore | 3 | 9 |
| 10 | settima minore | 2 | 10 |
| 11 | settima maggiore | 1 | 11 |
Da ciò deriva che, se il vettore standard opera su sei classi di intervallo, il vettore spaziale distingue separatamente gli undici possibili intervalli da 1 a 11 semitoni, lasciando il tritono come valore centrale autonomo. Esso può essere espresso come una sequenza di undici cifre racchiusa tra parentesi quadre.
Considerando ancora la triade maggiore C–E–G, il contenuto sonoro dell’accordo non viene ridotto alle classi 3–4–5, ma mantenuto nelle sue distanze effettive di 3–4–7 semitoni e il vettore spaziale che ne risulta è quindi:
[0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0]
dove le undici posizioni corrispondono, nell’ordine, agli intervalli di 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 e 11 semitoni.
Va precisato che, come il vettore intervallare standard, anche il vettore intervallare spaziale conta le occorrenze degli intervalli e non soltanto la loro presenza o assenza. Di conseguenza, se una stessa distanza compare più volte all’interno di un accordo, essa viene registrata tante volte quante sono le sue effettive ricorrenze. Ad esempio, l’accordo C–E♭–G♭–A ha vettore spaziale [0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 0].
Differenza tra vettore standard e vettore spaziale
Il vettore intervallare standard è uno strumento essenzialmente classificatorio: serve cioè a confrontare insiemi teoricamente equivalenti anche quando l’ordine delle note, la disposizione verticale o il registro cambiano. Per questo motivo, nella teoria degli insiemi, esso ignora la direzione e riduce gli intervalli alle loro classi complementari all’ottava.
Il vettore intervallare spaziale, invece, è uno strumento descrittivo più strettamente musicale: non mira a classificare insiemi astratti, ma a rendere leggibile il profilo sonoro interno di un accordo, conservando differenze che la riduzione a classi di intervallo tende a cancellare. In questo senso, pur riducendo gli intervalli superiori all’ottava entro il quadro di una singola ottava, esso è più vicino al dato sonoro concreto che non alla sola equivalenza teorica tra insiemi.
La teoria standard, inoltre, tratta il contenuto intervallare come proprietà di una set class e non di una singola disposizione concreta: il vettore resta infatti invariato per trasposizione, inversione, permutazione e disposizione verticale dell’insieme.
Ad esempio, gli accordi C–E–G e C–E–A hanno lo stesso vettore standard <0 0 1 1 1 0>, pur avendo contenuti sonori differenti. Nel primo caso le distanze effettive sono 3, 4 e 7 semitoni; nel secondo sono 4, 5 e 9 semitoni. Il vettore spaziale nasce proprio dall’esigenza di non cancellare tali differenze, così da conservarne la rilevanza musicale.
Relazione con i directed-interval vectors
Il vettore intervallare spaziale usato in questa voce non va confuso con i directed-interval vectors presenti nella teoria musicale matematica. Un riferimento utile è l’articolo di Robert W. Peck, All-(Generalized-)Interval(-System) Chords, dove il directed-interval vector viene usato per contare tutte le relazioni dirette tra le note di un insieme in uno spazio cromatico ciclico.
La differenza può essere chiarita con una triade maggiore, ad esempio:
C–E–G
Nel directed-interval vector vengono considerate tutte le trasformazioni interne possibili tra le note dell’accordo. Si contano quindi anche gli unisoni, cioè la relazione di ogni nota con se stessa:
C → C
E → E
G → G
e si contano anche i movimenti inversi:
C → E e E → C
C → G e G → C
E → G e G → E
In questo modo il vettore non descrive soltanto le distanze contenute nell’accordo, ma tutte le possibili relazioni dirette tra i suoi elementi. Da qui il termine directed, cioè direzionale.
Nel caso della triade maggiore C–E–G, il directed-interval vector, scritto da 0 a 11 semitoni, è:
[3 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0]
Le tre occorrenze iniziali indicano gli unisoni:
C → C
E → E
G → G
Le altre occorrenze indicano le relazioni dirette tra le diverse note dell’accordo, comprese quelle inverse.
Il vettore intervallare spaziale, invece, funziona in modo più semplice. Esso non conta tutte le trasformazioni possibili, ma soltanto gli spazi intervallari positivi presenti tra le note dell’accordo entro l’ottava.
Nel caso della stessa triade maggiore C–E–G, vengono considerate solo queste tre distanze:
E–G = 3 semitoni
C–E = 4 semitoni
C–G = 7 semitoni
Il vettore intervallare spaziale è quindi:
[0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0]
Questo vettore distingue gli intervalli complementari, ad esempio 3 da 9, 4 da 8, 5 da 7, ma non conta gli unisoni e non raddoppia le relazioni considerando anche il movimento inverso.